《 “双减”背景下数学概念教学赋能课堂增效》

摘要：“双减”的最终目的是不断提升我们的教育质量，立足课堂，提高教与学的效益，减负增效。概念是数学知识的基础；是数学思想与方法的载体；是数学教学的重要内容；是学生必须掌握的基础知识；是数学基本技能的形成与提高的必要条件。在课堂中通过清晰的数学概念教学，启发学生分析、综合、抽象；理清数学概念的形成过程；阐明知识生成的必要性和合理性；理解概念的根本内涵；弄清概念之间的区别与联系；经历经验交互、概念生长、记忆巩固及应用体验的学习过程，可以为数学课堂赋能增效。

关键词：“双减”  初中数学  概念教学  课堂增效

2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》；2021年8月9日江苏省教育厅等四部门印发《关于全面推进中小学课后服务进一步提升课后服务水平的实施意见》；2021年8月30日，教育部办公厅印发《关于加强义务教育学校考试管理的通知》。系列文件的出台，“双减”工作的逐步细化落实，这是一场教育的重大转型、一次革命性的教育大变革。“双减”的目的，不仅仅是简单为了替学生减负，而是要让教育聚焦学生的全面发展，更重视学生的核心素养的生成与身心健康的发展。减的是无效低能的题海训练，要变革的是被动低效、延时加量的课堂教学。“减负”是为了“增效”，是要重构我们习以为常的传统教学模式。

“双减”最终目的是要不断提升我们的教育质量，而不是降低我们的教育标准。只是这一质量不是通过加班加点、补课延时，以牺牲师生家长的身心健康，单纯地去追求“考试成绩”的那种单面分数指标。“双减”需要我们思考如何能在有限的给定时间范围内，提高课堂教学的有效性，如何提高单位教学时间的投入产出比，如何在一堂课中，提高教与学的有效性。数学概念的教学，是整个课堂教学的初始，学生深刻理解概念、牢固掌握概念、灵活应用概念都直接影响着数学课堂的教学效果。在中学数学教学中，正确理解数学概念，是掌握数学基础知识的前提，是学好定理、公式、法则和数学思想的基础，厘清概念更是解决数学问题的关键。但在目前初中数学概念教学课上，却存在着这样的一些问题：教师对教材处理不当，照搬课本材料，不能结合学生身边的实际案例讲解概念；教学过程流于形式，不注重引入，只是简单举例之后归纳定义，甚至直接呈现概念，以致学生对概念一知半解；教师一味追求学生应用概念解题，采用以练代讲的方式，让学生理解概念，在这种舍本逐末的概念教学中，学生对概念的理解仅停留在表面，教师并没有给学生带来确实有效的概念学习指导，使学生对概念的学习缺乏认知规律。

一、遵循数学概念生长的认知规律

《数学课程标准》指出：“数学教学中应强调对基本概念、基本思想的理解和掌握，对一些核心思想和基本方法要贯穿数学教学的始终，帮助学生逐步理解。由于数学高度抽象的特点，注意体现概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历具体实例抽象数学概念的过程，在初步运用中逐步理解数学概念的本质。”概念是数学知识中最普通的形式，是数学内容的基本点；是逻辑导出定理、公式、性质、法则的出发点；是建立学生认知结构的着眼点。数学概念的学习是数学学习的核心，数学概念的生成教学是教师落实基础的关键，是学生打好数学基础的首要环节，更是落实“双减”和“减负增效”的课堂教学具体实施途径。

学生对新学知识的理解总是借助已有的知识，以及用于引入新知识的素材、案例等。而学习准备不同（包括知识、经验、思维水平等）将导致面对相同的学习情境时，对所学内容产生不同的理解；同时，重要的数学概念与数学思想都有丰富、深刻的内涵，绝不是一次性可以完全呈现出来的。所以，重要的数学概念与数学思想要采用螺旋上升的原则，以符合学生的认知水平和认知程序的方式“螺旋展开”。螺旋上升主要包括两个方面，其一是学生数学思维水平发展的阶段性特征；其二是人在认识一个对象时，总是遵循由表及里、由浅入深的过程，而且在这个过程中，后续学习总会影响对先前学习对象的认识。因此对于那些较为抽象、深刻的数学概念、方法和思想，由于对它们的认识要经历较长的学习阶段，不能期望学生们能够通过一次性的学习就完成对它们的认识。例如，对方程、函数、概率等概念，对数形结合、逻辑证明、模型思想等方法的学习，应当采用螺旋上升的处理原则，尽早渗透思想，逐步加深内涵，渐次提高要求，在对学习对象的深度、广度等方面体现出螺旋上升，让学生逐步厘清数学概念。

二、创设数学概念生成的认知环境

数学概念是在人类历史发展过程中，逐步形成和发展的。恩格斯指出，数与形的概念不是其它任何地方，而是从现实世界中来的，离开了客观存在，离开了现实世界得来的感官经验，数学概念就成了无源之水，无本之木，而只是主观自生的、靠不住的东西。概念教学的首要环节是概念的引入，恰当的概念引入是概念教学顺利进行的前提。引入一个新概念时，要考虑这个概念的特征，以及这个概念和已有概念之间的联系，找到概念的生长点，激起学生探索未知的兴趣，使学生自然感悟新概念。

1、学生生活经验中生长数学概念

数学概念的形成源于实际的需求和数学内部的需要，从生活实际引入新概念，有助于学生体会数学知识的应用价值，加上初中生的逻辑思维能力发展不够，需要依托一些生活中的实际案例，使学生能主动从数学的角度，去分析、解决实际问题，如：从电影院座位到平面直角坐标系的有序数对；从温度计上的刻度到正数与负数；从沿着正方形边长转圈到多边形的外角和；从斑马线到平行线；从木条上的钉子到两直线互相垂直。学生通过归纳出这些事例的本质特征，联系现实原理从而深刻了解新概念。

2、交互活动信息中引出数学概念

在数学概念教学中可以使用游戏、调查、实验等活动方式，具体的操作活动能减少抽象性概念给学生的思维障碍。数学游戏能使学生动手、动口、动脑，多种感官参与学习活动，能够激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性，最大限度地发挥学生身心潜能，省时高效地完成学习任务。在数学概念引入教学时，若能根据教学内容，恰当地精心设计数学活动，将会让学生产生丰富的感性认识，通过各类信息的交互认识数学概念，实践中理解数学概念。如：转盘游戏估测概率的大小；剪拼三个角猜测三角形的内角和；利用图形的翻折旋转验证几何图形的对称性。

3、数学文化背景中了解数学概念

数学具有独特的文化价值，它的内容、思想、方法和语言已广泛地渗透到人们的工作和生活中。它在培养人的理性精神和良好的思维品质，陶冶人们的情操等许多方面都起着举足经重的作用。苏联数学教育家斯托利亚尔认为，“数学发展史给我们提供了关于数学概念、方法、语言发展历史道路的重要信息，在教学中，它常常指示我们形成和发展这些概念、方法、语言的途径”。通过让学生了解数学知识的产生背景、发展过程和概念定理的提出过程，让学生在学习、探索的过程中潜移默化地得到熏陶，激发学生对数学学习的兴趣和求知欲，在数学文化背景中逐步引出数学概念、理解概念、掌握概念、应用概念。初中数学概念中，存在着大量的数学文化背景资料，如：数学符号的起源，“无理数”的由来，从勾股数到勾股定理，丢番图墓志铭中的一元一次方程，《九章算术》中的“正负术”，笛卡儿坐标系等。

4、类比新旧知识中生成数学概念

数学概念有逻辑联系性特征，有些概念十分相似，可以通过类比的方式由一个概念推测另一个数学概念。获取概念的起步是在已有的认知结构的基础上进行的。因此，在教学新的数学概念前，如果能对学生认知结构中原有的适当概念做一些类比后引入新概念，从学生熟知的概念入手，循序渐进地引入新概念，则有利于促进新概念的形成，减少认知困难。例如在教学一元二次方程时，就可以先复习一元一次方程，一元一次方程是基础，一元二次方程是延伸，复习一元一次方程是合乎知识逻辑的，通过比较得出两种方程都是只含有一个未知数的整式方程，差异仅在于未知数的最高次数不同，由此生成一元二次方程的概念。再如分数和分式，平行四边形、矩形、菱形和正方形，全等三角形和相似三角形等，都可以在新旧知识类比中生成数学概念。

三、经历数学概念认知过程中掌握知识

理解是掌握数学概念的关键步骤，而真正掌握数学概念，不仅需要明确概念意义，更要让学生经历并体会概念产生的过程和价值。因为许多数学概念都是从实际生产生活中提炼出来的，所以在教学时要为学生提供思维情境，让学生经历数学观察、比较和概括的学习过程，体验数学新概念的建构过程，真正理解和掌握数学概念的本质属性。

1、内在需求驱动中探究数学概念

从根本上讲，数学的教学是教师引导学生探究现实世界的数量关系及空间形式，并不断地揭示其内在规律的过程，在这一过程中，教师如何根据教学实际，设计有针对性的问题，以问题解决为内在需求驱动，探究并生长数学概念。一般都有一个情境问题为背景，激发学生探究，以原有知识为起点，生长、发展并衍生成概念体系。如根据“最近原则”探究“两点之间的距离”、“探究点到直线的距离”、“两条平行线间的距离”概念体系。再如借助数轴可以确定一条直线上一个点的具体位置，那么如何确定平面上一个点的位置？学生交流生活中表述位置的方法，存在这样的几类探究结果：①有序数对、②经纬度、③方位角+距离、④极坐标，再通过“教室内座位表”生成“平面直角坐标系”概念体系。

2、内涵外延挖掘中理解数学概念

 一个新概念的引入，无疑是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。如三角函数的定义，经历了以下几个循序渐进、不断深化的过程：①利用直角三角形两边之比和坡角大小两种方式比较斜坡哪个更陡？②用直角三角形两直角边之比刻画的锐角三角函数的正切概念；③用直角三角形一条直角边与斜边之比刻画的锐角三角函数的正弦、余弦概念；④系统归纳锐角三角函数的概念体系；⑤生活实例三角函数概念应用中体会知识价值等等。三角函数的概念是整个“三角”部分的奠基石，它贯穿于与“三角”有关的各部分内容，并起着关键的作用。所以重视概念教学，挖掘概念的内涵与外延，对于学生理解概念显得更加有必要，常言道：磨刀不误砍柴工。事实上，也正是如此，对概念的内涵与外延的把握，不但不会耽误例题的讲解，相反会相得益彰。

3、知识价值感知中领会数学概念

数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用。发展应用数学的意识是学生学习数学的一个基本目的。一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释生活现象，解决实际问题；另一方面认识现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解释并解决。如扇形统计图、条形统计图、折线统计图的生活应用；商场促销活动中的游戏概率问题；三角形的稳定性和四边形的不稳定性应用；生活中的轴对称现象；有序数对表达位置与点的坐标概念等。让学生感知数学概念学习的价值，激发学生探究的兴趣，在问题解决的过程经历中领会数学概念，应用数学概念。

4、对比交互区别中建构概念体系

概念教学追求的是数学思维自然生长。随着学习的深入，有一些描述类似的概念，往往让学生学得云里雾里，这就需要通过对比辨析本质特征来明确概念的核心属性。如负数和非正数、算术平方根和二次根式、乘方与幂、轴对称和中心对称、平行四边形与矩形与菱形以及正方形等。教师要注意引导学生从概念的内涵与外延上加以区分，找出它们之间的联系与区别，这样有利于学生理解和掌握数学概念，也有助于培养学生思维的广度和深度，提高学生的辩证思维能力。在知识对比、经验交互、联系区别中建构概念体系。

四、体验数学概念应用中巩固知识

波利亚指出“学习最好的途径是自己去发现”。 因此在概念形成过程中，要引导学生通过对具体事物的感知，自主观察分析、抽象概括，自觉获取事物的本质属性和规律，从而形成新的概念。这样学生在获得概念的同时，还培养了抽象概括能力和创新精神，同时也使学生从被动地“听”发展成为主动地获取和体验数学概念，自主建构知识的过程。在获取概念、理解概念的基础上，更需要在应用体验中巩固数学概念，形成知识体系和数学技能，并能应用数学概念、方法和思想解决问题。

1、正例应用中认识数学概念

正例能帮助学生理解概念的本质特征，加深对概念内涵的理解。在一般的概念教学中，基本教学流程是“实例呈现—属性提炼—定义概念—正例强化—反例辨析—应用巩固”。其中获得概念后的正例强化的教学环节至关重要，这是学生确立数学概念模型和奠定数学思维的基础。例如在初中教学无理数时，可以从π、，0.1010010001……（两个1之间依次增加0）这样三类数理解无理数。再如学习一次函数时，可以用、、、函数关系式例子及变式推进来增强学生对一次函数概念的认识与理解。

2、反例辨析中厘清数学概念

反例能起到消除歧义、明辨易混淆概念的作用，恰当的反例能够厘清对概念的认识。概念教学要注意恰当使用反例，不切时、不恰当的反例使用，不仅会影响概念建立和强化，还会扰乱认知进度、增添认识混乱。对于一个新概念来讲，反例必须在充分的正例强化之后呈现。这是因为反例的辨析需要以概念内涵的领会为基础，其实就是概念的反向运用。如果把概念形象地比作一块领地的话，那么充分的正例强化就是让占领者站稳脚跟，壮大实力，而反例辨析则是厘清边界，抵制外来者。

3、图文表述中记忆数学概念

将文字定义的概念向数学符号语言的转化表述过程中进一步理解、巩固概念。如“等腰三角形顶角平分线垂直平分底边”，就可以通过画图直观形象地解释概念、理解概念、记忆概念，结合图形把文字语言转化为简洁的数学符号进行推理应用。在平面几何的教学中，文字语言、图形语言、符号语言三者娴熟转换，更易理解和巩固抽象的概念。再如“实数的绝对值”，可以利用数形结合法帮助记忆概念，既要讲清绝对值的符号表述，又要讲清几何意义“数轴上表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值”，通过文字、符号、图示的方法掌握概念。

4、变式教学中强化数学概念

变式教学有两种方式：概念性变式和过程性变式。概念性变式主要在概念建构和深化的过程中，尽可能地引入“适当的变异”，逐步推进概念，以使学生能够多角度理解概念，进而确切地掌握概念；过程性变式只要体现在“问题解决”过程中为学生搭建层次性的“思维脚手架”。变式教学的灵活应用能让学生理解概念、强化概念，并逐步形成数学的基本技能。如在“一元一次方程”教学中，通过变式揭示方程的“等式”本质；通过变式揭示字母的“未知数”本质；以变式强化“去分母”、“移项”和“系数化为1”的“等式性质”本质；通过变式揭示解方程过程的“同解变形”本质。

参考文献：

[1]  熊知龙．初中数学概念的数学思考与策略[J]．中学数学教学参考，2018（7）：63—65．

[2]  郑占厦．浅谈初中数学概念教学[J]．初中数学教与学，2018（8）：4—5．

[3]  陈振峰．概念教学中导入环节的设计[J]．初中数学教与学，2017（6）：14—16．

[4]  孙霞．运用“概念性变式”促进本质结构[J]．中学数学教学参考，2017（6）：28—30．

[5]  张世钦．核心概念的教学要有系统思维与整体意识[J]．中学数学教学参考，2018（1-2）：26—28．

[6]  王红兵 卜以楼．生长过程—概念教学的本质标志[J]．中学数学教学参考，2017（7）：27—29．