摘要：在中学数学教学中，正确理解数学概念，是掌握数学基础知识的前提，是学好定理、公式、法则和数学思想的基础，厘清概念更是解决数学问题的关键。将数学概念教学与数学理解相结合，对于探索初中数学概念教学的策略，具有重要的理论意义和实用价值。本文通过探讨反比例函数概念的理解及相关的教学方法，来促进中学数学概念教学水平的提高。

关键词：数学理解  初中数学  反比例函数  概念教学

一、数学理解与数学概念理解

1、数学理解

理解实际上是输入信息，完成编码，使用自己的经验和理论知识，然后构建自己的心理表征，从而获得心理意义。事实上，数学理解是指当某种数学意义和方法成为网络知识的一部分时，学生能够充分理解知识。一般来说，一是理解表象，让学生认识到数学的存在；二是在表象的基础上建构自己的心理表象，建构自己新知识的基本结构，不再坚持传统知识。就数学理解而言，它不是一项简单而独特的任务，它必须通过长期的知识重组来完成，因此数学理解是一个动态的发展过程。在深化对数学对象的理解中，应充分强调学生的主体地位，发挥学生的主观能动性。学生在实践中可以非常客观地理解数学的形象，从而在头脑中建立数学对象模型，然后真实、正确地描述数学对象，从而达到真正的数学理解。

2、数学概念的理解

理解数学概念对于数学的学习过程是很重要的。Hiebert和Carpenter认为数学概念与学习者现有的知识网络之间的联系越来越紧密，数学概念越被彻底理解。李世柱先生认为，学生在心理层面上组织和构建了一个概念的认知结构，进而成为学习者理解数学概念的知识网络中的重要节点。综上所述，对数学概念的理解在于从心理层面建立合适的心理表征，从实践教学层面和文本层面把握数学概念的本质，即概念本身的内涵和外延。理解、具体实例验证、从限制条件中深化知识、通过应用不断扩展和扩展，是理解概念的具体方式。就数学概念的教学而言，最重要的目标无疑是加深学生对数学概念的理解。

二、基本情况分析

《反比例函数》是苏科版教材中八年级下册第十一章的章头课，函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出来的数学概念，是研究现实世界变化规律的重要内容和数学模型。学生之前已经学习过变量之间的关系和一次函数等内容，对函数已经有了初步的认识，在此基础上讨论反比例函数可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验，为后面继续学习二次函数产生积极的影响。因此，本节内容有着举足轻重的地位。而八年级的学生思维品质尚待提高，学生抽象概括能力有限，学生理解起来比较困难，因此，在学习反比例函数概念的过程中，充分利用学生已有的生活经验和背景知识，创设丰富的现实情境，引导学生关注问题中变量的相依关系及变化规律，并逐步加深理解。

三、教学流程

1、情境引入：

4月9号，某校九年级全体师生隆重举行了“行二十四里（12km）路，铸火红青春”励志行活动，从学校步行出发到淹城。

师：这是一个行程问题，你能用一个等式表述v、t、s之间的关系吗？

等式中有两个变量，t随着自变量v的变化而变化，且若给一个自变量v的值，都有唯一的t值对应，所以可以得出结论：t是v的函数。

是我们以前学过的函数吗？

【设计意图】通过真实的情境，让学生感受生活中的数学。

师：在生活中有一些类似的问题：

如几何问题：若矩形的面积为12，长和宽分别为x和y，则有xy=12.

还有很多问题比如：工效问题、还款问题……生活中有这么多类似的函数问题，所以我们有必要专门来研究这类数学问题。

【设计意图】从生活中这一类问题的引入让学生感受到探究这类函数的必要性。

师：xy=12，观察这个函数，它有设么特征？在小学里，我们已经知道，如果两个量的乘积一定，那么这两个量成反比例。对于这一类函数，你能否起个名字？（引出本节课的课题）如xy=12这个式子中，变量x与y成反比例关系，如果x为自变量，那么y就是x的反比例函数。

怎么研究反比例函数呢？先回顾以前学过函数，比如：正比例函数、一次函数。正比例函数其实就是特殊的一次函数。

【设计意图】通过实际问题，如果学生经历体验抽象出函数的过程。

2、类比探究：

2.1知识结构框架的类比 ：

回忆一次函数的章节内容，对比本章知识结构，大致了解即将要学习的内容。

一次函数的研究思路            反比例函数的研究思路

2.2函数表示方法的类比：

   回忆一次函数的表示方法：表达式、列表、图像，类比一次函数得出反比例函数的的表示方法也是这样的三种：表达式法、表格法、图像法。

2.2.1表达式：

回忆一次函数（正比例函数）的表达式。

正比例函数：形如y=kx（k为常数且k≠0）

一次函数：形如y=kx+b（k、b为常数且k≠0）

概念归纳：一般地，形如(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数。

师：对于“一般的”你是如何思考的？引导学生得出反比例函数表达式的三种表达形式：

     （k为常数且k≠0）

生：观察函数关系式， 思考：x、y的取值。

师：你能猜猜函数图像在哪些象限吗？

师：这个图像是否是中心对称图形？

师：类比上面的函数，我们也可以研究函数 。

【设计意图】类比一次函数的表达式，归纳出反比例函数的一般式，再根据表达式初步感知函数图像的性质。

2.2.2列表格：

观察表格中的数据的变化趋势，你能描述下你的发现吗？

【设计意图】类比一次函数的列表，列出反比例函数对应的表格，再根据表格中具体的数据感受函数图像的大致变化趋势。

2.2.3图像的初感知

如果把矩形放在第一象限，以这组邻边为坐标轴建立平面直角坐标系，我们发现，这个顶点的坐标都符合的函数表达式，也就是说，这个点都在这个函数的图像上。

【设计意图】在学习一次函数图像时，从实际问题入手，形象的感知它的图像为一条直线，类比这种方法，通过等积矩形的特殊操作，让学生形象的感知反比例函数的图像是曲线。

师：下面我们通过一个活动来直观的感受下反比例函数图像的大致形状。

活动：将函数 中的变量x和y分别看成是面积为12的矩形的一组邻边

操作：①在网格中建立一个平面直角坐标系；②在第一象限内画面积为12的矩形。

要求：①原点O为矩形的一个顶点； ②两边在坐标轴上；③四个顶点都在格点上

思考：a.这些矩形的面积与函数表达式中的k有怎样的关系？

b.写出O点相对的顶点的坐标，这些点的坐标是否都符合的函数关系

c.如果不要求画格点矩形，还能画多少个符合条件的矩形？

d.所有这些矩形中，与点O相对的顶点的坐标是否都在符合刚才的函数关系式？

e.若将这些矩形画在其他，与原点O相对的顶点在怎样的函数图像上？

观察函数的图像，你能发现什么？若把矩形放在第二象限，原点O相对顶点的坐标是什么？这个点在反比例函数图像上，表达式是什么？你能猜想反比例函数的图像吗？用手比划一下；观察函数的图像，你能发现什么？

【设计意图】从矩形那个顶点位置的变化，先直观感受函数图像的形状。

2.3图像的再认识

总结：格点矩形获取图像方法关键是：与原点相对的顶点

这个顶点的坐标可以用表格的形式来表示

在格点纸上画出函数：的图像

步骤：列表——描点——连线

2.4图像性质的类比

2.5实际应用的类比

回到最开始的实际问题：若二十四中“行24里路”即毅行12km的活动，计划花2-3小时完成，请问：平均速度应控制在怎样的范围？

你是怎么得到这个结论的？从表达式、表格、图像三个方面解决

在本次活动中，若初三学生步行的速度越快，则所花时间越________ ？

解决实际问题经历的过程

3.知识展望：

三、教学启示：

1.研究意义 

1.1有助于激发学生的学习兴趣

对数学教学的理解就是对数学创造力培养的尊重，并将其视为教学的根本目的。著名数学教授伽达默尔认为，理解不是简单的模仿，而是学生在内在化过程中的创造。在一定程度上，数学理解的过程本质上是一个数学创造的过程。数学学习的价值在于学生理解和积极参与经验的再创造，这进一步促进了学生对数学知识的理解和接受。“双减”背景下，激发学生的学习兴趣变得更加重要，兴趣是最好的老师。

1.2有助于提高初中数学课堂教学效果

“双减”后，每节课由45分钟调整为40分钟，如果我们再教学过程中不作出调整和改变，课堂效率是要大打折扣的，由于传统观念根深蒂固，数学教师在教学中往往陷入忽视概念教学的误区，导致学生在概念的学习上停留在表层，不能深层次的理解，甚至是只能模仿运用，但不能理解内涵，不能灵活运用。因此，从理解数学、整合数学概念教学和保持学生数学核心素养的角度来看，在概念教学中加强数学理解，不仅有助于调动学生的学习兴趣，也能提高数学教学质量，从而提高课堂效率。

2.具体措施

2.1培养学生自主性，为数学理解的应用奠定基础

初中数学知识具有较强的系统性，在学习数学概念的过程中，需要有较强的分析归纳和抽象思维能力。由于数学知识积累薄弱，抽象思维能力尚未形成，导致数学概念的学习过程中存在一定的能量不足，如果教师不正确改进教学方法，数学概念的学习就会变得枯燥，学生容易失去学习的兴趣，会对后学的教学有不好的影响。教师可以运用数学理解来提高学生的学习自主性。在自主学习的过程中，最大限度地激发和提高学生的学习积极性，在这一过程中，教师应加强指导。掌握正确的学习方向，激发学生的学习积极性，在如何完成学习任务方面，教师不干预过多。只有当学生在学习过程中遇到问题时，教师才能给予适当的指导和帮助，最终为数学理解的有效应用奠定坚实的基础。

2.2明确数学教学目标,将数学理解贯穿到教学全过程

在实践中，缺乏明确的教学目标或教学目标与实际教学的差距是应用数学理解过程中存在的主要问题。为了从根本上提高中学数学概念教学质量，促进数学理解的应用，教师应进一步明确教学目标，优化概念教学内容。设计教学活动，帮助学生不断提高对数学概念的理解能力。同时，在课堂教学实践中，教师应积极摒弃传统的教学观念和教学形式。在制定数学理解教学大纲时，教师应注意结合学生的具体学习情况，明确具体的教学过程，教学活动的每一步都要达到教学目的。在教学过程中要有明确的方向，避免在教学过程中偏离教学目标，而且教学目标和教学大纲不是一成不变的。教师应结合学生数学概念学习的具体特点，及时调整数学理解的应用形式，提高数学概念教学的灵活性和有效性。

数学概念教学一直是数学教学活动的重点和难点。因此，教师需要充分认识向学生传授数学概念的重要作用和重要性，并运用各种方法使学生真正理解数学，促进数学教学理念的可持续发展。

参考文献:

[1]刘丽华.数学理解在初中数学概念教学中的运用[J].数理化解题研究,2020(35):22-23.

[2]杨敏敏.浅谈数学理解在初中数学概念教学中的运用方法[J].天天爱科学(教育前沿),2019(12):64.

[3]张颖.数学理解在初中数学概念教学中的运用[J].新智慧,2019(34):7.

[4]巩龙.浅谈数学理解在初中数学概念教学中的运用[A].教育部基础教育课程改革研究中心.2019年中小学素质教育创新研究大会论文集[C].教育部基础教育课程改革研究中心:教育部基础教育课程改革研究中心,2019:1.

[5]栗肖飞.初中数学陈述性概念教学策略研究[D].天津师范大学,2019.

[6]杜成智.数学理解在初中数学概念教学中的运用[J].教学与管理,2019(10):45-47.

[7]徐娟静.探讨初中数学概念教学途径[D].华中师范大学,2018.

[8]朱儒进.初中数学概念教学多重表征应用的实践研究[D].合肥师范学院,2018.

[9]郭艳军.支架式教学在初中数学概念教学中的实践应用研究[D].上海师范大学,2013.

[10]王晓娟.APOS理论在初中数学概念教学中运用的策略研究[D].西南大学,2013.